Introduction

Imagine que tu veux acheter des pommes et des oranges. Tu sais le prix de chaque fruit et tu as un budget limité. Pour savoir combien de pommes et d'oranges tu peux acheter, tu vas devoir résoudre un problème qui fait intervenir plusieurs inconnues. C'est là qu'interviennent les systèmes d'équations.

Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Un système d'équations, c'est un ensemble de deux (ou plus) équations qu'il faut résoudre simultanément. Dans notre exemple des fruits, on aura deux équations : une pour le prix total et une pour le nombre total de fruits.

Une équation dans ℝ × ℝ fait intervenir deux variables (souvent x et y) et s’écrit sous la forme : ax+by=c où a, b, et c sont des constantes. 

Exemple : 2x+3y=12

Les solutions de cette équation sont des couples (x,y) qui vérifient l'égalité. 

Le problème du jus

Les élèves ont acheté 20 litres de jus de deux types différents. Ils connaissent le prix par litre de chaque type de jus et le prix total. Ils veulent savoir combien de litres de chaque type de jus ils ont achetés.

Les élèves ont commandé 20 litres de jus, composés de :

• Bissap : 400 F CFA par litre,

• Gnamancou : 500 F CFA par litre.

Le total est de 9 200 F CFA, mais le nombre de litres de chaque jus n’est pas précisé.
Les élèves doivent déterminer combien de litres de chaque jus ont été commandés.

Comment résoudre un système d'équations ?

Il existe plusieurs méthodes :

• Par substitution: On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace cette expression dans l'autre équation.

Problème de la situation :

Soit x le nombre de litres de Bissap et yyy le nombre de litres de Gnamancou.
On a les deux équations suivantes :

1. x+y=20  (20 litres en tout)

2. 400x+500y= 9200 (prix total).

Étape 1 : Isoler une variable dans l’une des équations
À partir de x+y=20x, on isole y :

y=20−x

Étape 2 : Substituer cette expression dans la deuxième équation

400x+500(20−x)=9200

Étape 3 : Résoudre l’équation obtenue

400x+10000−500x=9200 

−100x+10000=9200 

−100x=−800⟹x=8

Étape 4 : Calculer y à partir de y=20−x

y=20−8=12

Solution :

Les organisateurs ont commandé 8 litres de Bissap et 12 litres de Gnamancou. ✅

• Par combinaison: On ajoute ou soustrait les équations membre à membre pour éliminer une inconnue.

Problème de la situation :

On combine les deux équations pour éliminer une variable :

1. x+y=20x 

2. 400x+500y=9200

Étape 1 : Multiplier la première équation pour aligner les coefficients

On multiplie x+y=20x par 400 :

400x+400y=8000

Étape 2 : Soustraire les deux équations

(400x+500y)−(400x+400y)=9200−8000 

100y=1200⟹y=12

Étape 3 : Calculer x 

En remplaçant y=12y dans x+y=20

x+12=20⟹x=8

Solution :

Les résultats sont identiques : 8 litres de Bissap et 12 litres de Gnamancou. ✅

• Graphiquement: On représente les deux équations dans un repère et on cherche le point d'intersection des deux droites.

Représentation Graphique

• Une équation du premier degré à deux inconnues représente une droite dans le plan.

• Une inéquation du premier degré à deux inconnues représente un demi-plan.

Pour représenter les solutions graphiquement :

1. On trace les deux équations :

   • x+y=20

   • 400x+500y=9200 

Tracé de x+y=20 :

• Si x=0, alors y=20 (point A(0,20)).

• Si y=0, alors x=20 (point B(20,0)).

Tracé de 400x+500y=9200 :

• Si x=0, alors 500y=9200  ⟹  y=18.4 (point C(0,18.4)).

• Si y=0, alors 400x=9200  ⟹  x=23 (point D(23,0)).

Graphique :

Les solutions de chaque équation forment des droites. Le point d’intersection des deux droites est la solution (8,12)

Les inéquations dans ℝ²

Une inéquation dans ℝ², c'est une inégalité où les inconnues sont x et y. La solution d'une inéquation dans ℝ² est représentée par une partie du plan.

Une inéquation dans ℝ × ℝ utilise des signes d'inégalité (>,<,≥,≤). 

Exemple :

x+y≤20 

400x+500y≤9200

Pour résoudre :

1. Tracez les droites x+y=20x et 400x+500y=9200.

2. Identifiez les zones correspondant aux inégalités.

Le système d’inéquations correspond à l’intersection des zones des deux inégalités.

En résumé: Les systèmes d'équations et les inéquations à deux inconnues sont des outils puissants pour résoudre des problèmes qui font intervenir plusieurs variables. En maîtrisant ces notions, tu pourras aborder des problèmes plus complexes.

N'hésite pas à poser des questions à ton professeur si tu as besoin d'aide !

Exercices

1. Résous le système suivant par substitution :

   1. x + y = 10

   2. 2x - y = 5

   3. 3x+2y=24

2. Résous le système suivant par combinaison :

   1. 3x + 2y = 12

   2. x - y = 1

   3. 5x+3y≤45

3. Représente graphiquement l'inéquation : x + 2y ≤ 6

4. Les élèves veulent acheter 15 litres de jus pour 6 500 F CFA, avec les mêmes prix. Combien de litres de chaque jus devraient-ils commander ? 

Pour aller plus loin:

Les systèmes d'équations et les inéquations sont utilisés dans de nombreux domaines :

• La physique: Pour résoudre des problèmes de mécanique, d'électricité, etc.

• L'économie: Pour étudier les marchés, les prix, etc.

• La géométrie: Pour trouver les coordonnées de points d'intersection.

Mots-clés: système d'équations, inéquations, résoudre, substitution, combinaison, graphique, plan, inconnues.

Pour aller plus loin

Les systèmes d'équations et les inéquations sont utilisés dans de nombreux domaines :

• La physique: Pour résoudre des problèmes de mécanique, d'électricité, etc.

• L'économie: Pour étudier les marchés, les prix, etc.

• La géométrie: Pour trouver les coordonnées de points d'intersection.