Introduction

Imagine que tu veux acheter un nouveau téléphone. Tu as un budget de 50,000 CFA. Tu vas donc chercher tous les téléphones dont le prix est inférieur ou égal à 50,000 CFA. Ici, on parle d'intervalle de prix. Dans cette leçon, nous allons voir comment travailler avec ces intervalles, notamment pour résoudre des problèmes comme celui du terrain.

Les intervalles, c'est quoi ?

Un intervalle, c'est un ensemble de nombres compris entre deux valeurs. Par exemple, tous les nombres compris entre 5 et 10 forment un intervalle.

Comment représenter un intervalle ?

On peut :

1. Donner les bornes (les limites) : [14,15] → ça commence à 14 et finit à 15.

2. Utiliser des signes d’inégalités : [14,15] peut aussi s’écrire 14 ≤ x ≤ 15

Exemples :

• ]2, 6] : Tous les nombres entre 2 et 6, mais 2 est exclu et 6 est inclus.

• 10 <x <20 : Tous les nombres entre 10 et 20, sans prendre 10 ni 20.

Deux notions importantes : centre et amplitude

Le centre :

Le centre, c’est le milieu de l’intervalle.

• Comment on le trouve ?
  On fait la moyenne des deux bornes :

L’amplitude :

L’amplitude, c’est la distance entre les deux bornes.

• Comment on la calcule ?
  On soustrait la borne inférieure de la borne supérieure : Amplitude=borne superieure−borne inferieure

• Exemple : Pour [14,15], l’amplitude est 15−14=11.

Le problème du terrain

Un commerçant cherche un terrain dont l'aire est comprise entre 230 m² et 300 m². Cela signifie que l'aire du terrain doit être supérieure ou égale à 230 m² et inférieure ou égale à 300 m².

Résoudre le problème du terrain

1. Calculer les aires possibles: En multipliant les longueurs extrêmes (17m x 14m et 18m x 15m), on obtient un intervalle d'aires possibles. 

Le propriétaire dit que :

• La longueur de son terrain est entre 17 et 18 mètres.

• La largeur est entre 14 et 15 mètres.

On calcule les aires possibles :

1. Aire minimale : 17×14=238 m2.

2. Aire maximale : 18×15=270 m2

2. Comparer avec l'intervalle souhaité: On regarde si l'intervalle des aires possibles du terrain correspond à l'intervalle souhaité par le commerçant.

L’aire est entre [238,270]. Comme ça correspond à l’intervalle demandé [230,300], le terrain convient. 

Les outils du calcul numérique

• Les inégalités: Ce sont des relations qui comparent des nombres.

• Les arrondis: On arrondit un nombre pour avoir une valeur approchée.

• Les ordres de grandeur: Cela permet d'évaluer rapidement la taille d'un nombre.

En résumé: Un intervalle sert à décrire les nombres possibles entre deux limites.

Il peut être fermé (on inclut les bornes) ou ouvert (on exclut les bornes).

Le centre est le milieu de l’intervalle, et l’amplitude est la distance entre les bornes.

Les intervalles sont utiles pour résoudre des problèmes pratiques comme les dimensions d’un terrain.

Pour comprendre les intervalles, on peut les dessiner.

• Si on trace [14,15], on place deux points (14 et 15) sur une ligne.

• Si on inclut les bornes, on fait des points pleins.

• Si on exclut les bornes, on fait des points vides.

N'hésite pas à poser des questions à ton professeur si tu as besoin d'aide !

Exercices

1. Représente sur une droite graduée l'intervalle des nombres compris entre -2 et 5.

2. Résous l'inéquation suivante : 2x + 3 ≤ 9.

3. Arrondis 3,14159 à l'unité près, puis au dixième près.

4. Représente sur une droite graduée :

• [2,6].

• ]4,8[.

5.Trouve le centre et l’amplitude :

• Pour [10,20].

• Pour [5,12].

Pour aller plus loin

• Les fonctions: Les intervalles sont souvent utilisés pour étudier le comportement des fonctions.

• Les statistiques: Les intervalles permettent de décrire des données.

Mots-clés: intervalle, inégalité, droite graduée, aire, longueur, résoudre, problème, arrondi, ordre de grandeur.