Introduction

Imagine que tu veux acheter un nouveau jeu vidéo. Tu as une certaine somme d'argent, et tu dois choisir entre deux jeux. Pour savoir lequel tu peux acheter, tu vas devoir faire des calculs. C'est là qu'interviennent les équations et les inéquations.

Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation, c'est comme une balance. De chaque côté du signe égal, il y a une expression. Le but, c'est de trouver la valeur de l'inconnue (souvent représentée par x) qui rend l'égalité vraie.

Qu'est-ce qu'une Équation du Premier Degré ?

Une équation du premier degré est une égalité contenant une inconnue (x) qui apparaît uniquement avec une puissance de 1.
Elle s’écrit sous la forme : ax+b=0 où a et b sont des nombres. 

Exemple simple :   3x+5=0

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation, c'est un peu comme une équation, mais au lieu d'un signe égal, on a des signes comme "plus petit que" (<) ou "plus grand que" (>).

Inéquations du Premier Degré

Une inéquation du premier degré ressemble à une équation, mais utilise les signes <,≤,>,≥ à la place de =.

Exemples courants : 

2x+3>0

4x−5≤10

5x+7>3x+9

L’objectif est de trouver toutes les valeurs de x qui satisfont l’inéquation. 

Exemple simple :  2x+3>7

1. Soustraire 3 des deux côtés : 2x>42

2. Diviser par 2 : x>2

Solution :
Tous les x>2

Système d’Inéquations 

Un système d’inéquations est un ensemble de plusieurs inéquations que l’on résout simultanément.

1. Résolution : Résoudre chaque inéquation :

1. • 2x+3>5⇒x>1

   • x−1≤4⇒x≤5

2. Regrouper les solutions :
   1<x≤5

Interprétation :
Les solutions sont tous les x entre 1 et (5] (excluant 1, incluant 5).

Le problème de la sortie scolaire

Les élèves doivent choisir entre deux entreprises de location de cars. Pour cela, ils vont devoir comparer les prix en fonction du nombre de kilomètres parcourus. Ils vont utiliser des équations pour calculer le prix total pour chaque entreprise et des inéquations pour savoir à partir de quelle distance une entreprise est plus intéressante que l'autre.

Comment résoudre une équation ou une inéquation ?

Isoler l'inconnue: On effectue les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité ou de l'inégalité pour que l'inconnue se retrouve seule d'un côté.

Les règles de base:

Si on ajoute ou soustrait le même nombre des deux côtés, l'équation (ou l'inéquation) reste vraie.

Si on multiplie ou divise les deux côtés par le même nombre positif, l'équation (ou l'inéquation) reste vraie.

Attention: Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.

Résolution d’un Problème avec Équations

Étape 1 : Exprimer les coûts des deux entreprises

1. Entreprise 1 : Coût total C1=10 000+70x, où x est la distance parcourue en km.

2. Entreprise 2 : Coût total C2=7 000+90x

Étape 2 : Déterminer quand les deux coûts sont égaux

Pour savoir à quelle distance les deux entreprises coûtent le même prix, on résout l’équation :C1=C2

Substituons les expressions des coûts :

10 000+70x=7 000+90x

Résolution :

1. Regrouper les termes en x : 

10 000−7 000=90x−70x

2. Simplifier : 

3 000=20x

3. Isoler x : 

Interprétation :
Pour une distance de 150 km, les deux entreprises coûtent le même prix.

Résolution d’une Inéquation dans le Problème

Pour savoir quelle entreprise est moins chère selon la distance, comparons leurs coûts.

Étape 1 : Comparer C1​ et C

On veut savoir pour quelle distance C1<C2​, soit :

10 000+70x<7 000+90x

Étape 2 : Résolution

1. Regrouper les termes en x : 

10 000−7 000<90x−70x

2. Simplifier : 3 000<20x

3. Isoler x : 

Interprétation :

• Si x>150x > 150x>150, l’Entreprise 2 est plus chère.

• Si x<150x < 150x<150, l’Entreprise 1 est plus chère.

En résumé: les équations et les inéquations sont des outils essentiels pour résoudre des problèmes et prendre des décisions.

N'hésite pas à poser des questions à ton professeur si tu as besoin d'aide !

Exercices

1. Résous l'équation : 2x + 5 = 11

2. Résous l'inéquation : 3x - 4 > 2

3. Résolvez l’équation : 4x−5=3x+7

4. Résolvez l’inéquation : 2x+10≥15

Pour aller plus loin:

Les équations et les inéquations sont utilisées dans de nombreux domaines :

• La physique: Pour résoudre des problèmes de mouvement, de force, etc.

• L'économie: Pour étudier l'évolution des prix, des salaires, etc.

• L'informatique: Pour écrire des programmes.

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